Kırınım olayı genel anlamda Leonardo da Vinci
tarafından bilinmesine rağmen ışığın kırınımı ilk olarak Grimaldi
(Frençeska Grimaldi) tarafından gözlenmiş ve etraflıca tasvir
olunmuştur. Grimaldi' nin kırınım hakkındaki yazıları, 1665 yılında
basılan kitabında mevcuttur.
Kırınım olayının dalga teorisi
açısından izahı 1818 yılında ilk kez Fresnel tarafından yapılmıştır.
Fresnel dalgaların üst üste binerek girişim oluşturma imkânını dikkate
alarak Huygens prensibini geliştirmiş ve yeni bir prensip ortaya
koymuştur. Kırınım olayının incelenmesinde bu yeni prensip
Huygens-Fresnel prensibi olarak adlandırılmıştır. Sonraları Kirchhoff
kırınım teorisinin matematik temelini ortaya koymuştur.
Biz, kırınım
olayını lineer optik açısından inceliyeceğiz. Fazla şiddetli ışık -
akımlarının yayılmasına bağlı olarak lineer optiğin temel kanunlarında
meydana gelen bazı sapmalar hakkında ise kısa izahlarla yetineceğiz.
6.1. HUYGENS-FRESNEL PRENSİBİ
Dalga
cephesinin belirli bir andaki durumu bilinirse, Huygens'in dalga
prensibi esas alınarak sonraki istenilen anlarda dalga cephesi;
dolayısıyla da ışınların doğrultulan bulunabilir. Işının yayılma
doğrultusu bu yolla bulunduğunda şöyle bir sonuç elde edilmiştir.
Saydam olmayan ekran üzerindeki delikten veya yarıktan ışık geçince
geometrik yayılma doğrultusundan (bir cins ortamda doğru yol boyunca
yayılma doğrultusundan) bir sapma gözlenir. İşte ışığın karşısına çıkan
engelleri böyle geçmesine kırınım denir.
Kırınım probleminin tam
çözülmesi için ışığın; engeli geçtikten sonra şiddetini ve yeni yayılma
doğrultularını, dolayısıyla, kırınım açılarını belirlemek gerekir.
Sadece Huygens prensibi ile bu problem çözülemez. Ancak bu problem,
girişim ile desteklenen Huygens-Fresnel prensibi yardımı ile
çözülmüştür. Huygens-Fresnel prensibi, ışığın bir cins ortamda doğru
yol boyunca yayılmasını dalga teorisi çerçevesinde açıklamaya da imkân
verir.
Huygens-Fresnel Prensibi
Fresnel'e göre, kırınım
anında meydana gelen ikinci (yardımcı) yarı küresel elemanter dalgalar
uyumlu olduğundan ekranın her noktasında sonuç ışık şiddetini bulurken
bu şekilde oluşmuş ikinci dalgaların girişimini nazara almak gerekir.
Fresnel; ışık kaynağını kendi etrafında istenilen şekle sahip
aydınlanmış kapalı bir yüzeyle temsil etmeyi teklif etmiştir. Kapalı
yüzeyin her elemanter hisseleri karşılıklı uyumlu olduğundan ekranın
her belirli bir noktasında sonuç şiddeti bulurken bütün elemanter
hisselerin tesirlerini, onların genlik ve fazlarını dikkate alarak
toplamak gerekir.
S kaynağından çıkan l dalga boylu ışık dalgasının
bir cins ortamda B noktasına taraf yayıldığını gözönüne alalım (şekil
6.1). Genel halde kaynağı, istenilen şekilli kapalı bir yüzeyle temsil
edebiliriz. Basit hal için böyle bir kapalı yüzey olarak; merkezi,
kaynak olan R yarıçaplı küre yüzeyini (dalga cephesini) gözönüne alalım.
Huygens-Fresnel
prensibine göre aydınlanmış kapalı yüzeyin (dalga cephesinin) her
hissesi ikinci kaynakların (yardımcı kaynakların) merkezi olarak kabul
olunabilir. Üzerinde Mj noktasının yerleştiği Dsjyüzeyinden çıkan ışık
dalgasının B noktasında meydana getirdiği titreşim,
Ej = f(aj) Dsjcos(wt – kr - j0) = E0j cos(wt – kr - j0) (6.1)
şeklinde yazılabilir. Burada;
E0j = f(aj) Dsj
küçük
Dsj yüzeyi tarafından B noktasında meydana getirilen titreşimin
genliği, EO değeri; Dsjkaynağının birim uzaklıktaki genliği, jo
başlangıç fazı, rj kaynak olarak kabul ettiğimiz Dsjyüzeyinden B
noktasına kadar olan uzaklık, aj kaynaktan seyir noktasına çizilen
çizgi ile bu kaynak (Dsjyüzeyi) yüzeyinin normali arasındaki açı
(kırınım açısı) ve f(aj) yardımcı dalga genliğinin doğrultu ile
ilgisini karakterize eden katsayıdır.
Dsjyüzeyini öyle küçük
seçmeliyiz ki, bu yüzey üzerinde aj ve rj pratik olarak sabit kalsın.
Fresnel'e göre f (aj), a = 0 olduğunda maksimum değerini alırken, a
büyüyerek ap/2 olduğunda. f(aj) de küçülerek sıfır değerini alır. S
kaynağı ile B noktası arasında yerleştirilmiş saydam olmayan ekran
üzerindeki tüm noktalarda (delik yüzeyi hariç) yardımcı dalga
genlikleri sıfırdır. Ekran üzerindeki delik açıldığında, yardımcı
kaynak, yüzeyin delik bölgesinde istenilen (amaçla ilgili olarak)
şekilde seçilmiş yüzeyden ve saydam olmayan ekranın (delik hariç) kalan
yüzeyinden oluşur.
Işığın ekran maddesi ile karşılıklı etkisi nazara
alınmaz. Yani, delik bölgesine ^ uygun gelen genlik gerek bu halde,
gerekse saydam olmayan ekran olmasada aynıdır. Demek ki, saydam olmayan
ekranın rolü sadece yardımcı kapalı yüzeyin belirli kısmından (bakılan
halde delik bölgesi hariç kalan kısımdan) seyir ekranına gelen ışığı
engellemek içindir. Aslında problemin hassas cüzümü için ekran
maddesinin fiziksel özellikleri dikkate alınarak sınır şartları
belirtilmelidir.
Sonuç Genliğin Hesaplanması
S kaynağından
çıkan ışığı r yarıçaplı deliği olan saydam olmayan ekran yüzeyine
yöneltelim. Delikte kırınım yaptıktan sonra B noktasına taraf yayılan
ışığı gözönüne alalım (Şekil 6.2).
B noktasında sonuç genliği bulmak
için (6.1) ifadesi ile belirtilen titreşimleri a yüzeyi boyunca
toplamalıyız. Genellikle, bu problemin çözümü, matematik çözümün fazla
karışık olmasından ötürü sıkıntılıdır. Bu sıkıntıyı ortadan kaldırmak
amacıyla Fresnel, bant metodu denilen bir metod teklif etmiştir.
Fresnel'in bant metoduna göre, dalga cephesi (aydınlanmış yüzey);
merkezi Mo (SB doğru çizgisi ile s yüzeyinin kesim noktası) noktası
olmak üzere s yüzeyi halka şekilli bantlara bölünür. Bölünme şartlarına
göre komşu bantların dış sınırlarını B noktası ile birleştiren
doğruların uzunlukları farkı, yarım dalga boyuna eşit olmalıdır. Yani;
M1B – M0B = M2B – M1B = ... = (Mj - Mj-1) B = .. = (6.2)
şartı
yerine getirilmelidir. Dalga cephesini böyle halka bantlara bölmek
için; merkezi; B noktasında olan, yarıçapları ise sırasıyla,
r0, r0 + , …., r0 + j
olan
yarı küre yüzeyleri çizmek gerekir. (6.1) ifadesinden görüldüğü gibi j.
Fresnel bandının B noktasında meydana getirdiği titreşimin genliği,
Eoj = f(aj) Dsj (6.3)
olur.
Demek ki, j. bandın seyir noktasındaki genliği; j. bandın Dsj alanı, aj
kırınım açısı ve j. bantla B noktası arasındaki rj uzaklığı ile
ilgilidir. Komşu halka bantlardan B seyir noktasına gelen ışınların
yollar farkı l/2' ye eşit olduğunda bu komşu titreşimler B noktasına
zıt fazlarla gelir. Demek ki, komşu genlikler toplama işlemine zıt
işaretlerle gireceklerdir. Söylediklerimiz dikkate alınırsa; B
noktasında s yüzeyini oluşturan tüm Fresnel bantlarının sonuç genliği,
E0 = E01 – E02 + E03 – E04 + … E0i (6.4)
olur. Burada, j tek olursa E0; önündeki işaret pozitif, j çift olursa negatif olacaktır.
Sonuç
genliği bulmak için numaraların artması ile ilgili olarak bant
genliklerinin değişimine bakalım ve genlik birkaç tane bilinmeyenle
ilgili olduğundan bu ilgiyi sırasıyla inceleyelim:
1. aj'nin
sıfırdan p/2'ye kadar büyümesi ile f(aj) katsayısı (bantın meyil
katsayısı) kendisinin mümkün olan en büyük değerinden sıfıra kadar
küçülür. Demek ki, bant numarası büyüdüğünde, bandın meyil katsayısına
bağlı olarak genlik küçülür.
2. (6.3) ifadesinden görüldüğü gibi genlik, rj nin büyümesine bağlı olarak küçülür.
3.
Genlik, bant alanının büyüklüğü ile doğru orantılıdır. Fakat biz, bant
alanının numara ile ilgisini henüz bilmiyoruz. Problemin çözümü için
alan büyüklüyünün bant numarası ile ilgisini belirlemeliyiz. Kolayca
ispat edilebilir ki, belirli bir yaklaşım içinde bant alanları
numaralarla ilgili olmayıp sabit kalır. Yani,
Ds1 = Ds2 = Ds3 = … = Ds
dır.
Yukarıda yazılan eşitliğin varlığını isbat etmek amacıyla j. bandın
{burada j istenilen tamsayı değerleridir ve kaynakla seyir ekranı
arasında yer alan yardımcı ekran üzerinde bulunan a deliğindeki
bantların sayısını ifade eder.) yarıçapını p ile gösterelim {şekil
6.2). Bellidir ki, j. bandın alanı, sırasıyla; j ve j-1 numaralı
bantların oluşturdukları yüzeylerin alanları farkına eşittir, j sayıda
halka bantlarını içeren küre yüzeyi kısmının yüksekliğini hj ile
gösterelim (şekil 6.2). Küre yarıçapı R olduğunda, sj = 2pRhj olur.
Yukarıdaki açıklamalar dikkate alınırsa,
Dsj = sj - sj-1 = 2pR(hj – hj-1) (6.5)
yazılabilir,
hj yi bulmak için SMjC ve MjCB üçgenlerini dikkate alalım. Şeki6.2'den
görüldüğü gibi : R2 – (R – hj)2 = rj2 – (r0 + hj)2 ve buradan, h =
olur. Öte yandan, rj = r0j olduğundan şeklinde bulunur. l << r0
ve l<<R olduğu düşünülür ve bu sebepten 3. terim ihmal edilirse,
olur. bu sonuç hj’nin ifadesinde yerine yazılırsa,
hj = (6.6)
olduğu görülür. Bu ifade (6.5) ifadesinde de dikkate alınırsa j. Fresnel bandının alanı için,
Dsj = pR = (6.7)
elde
edilir. Görüldüğü gibi, bakılan yaklaşımla da (l << r0, l
<< R) Fresnel bandının alanı, numara ile ilgili olmadığı
anlaşılır.
Böylece, yapılan incelemeler sonucu olarak görülür ki,
bantların numaraları büyüdüğünde B noktasında bunlara uygun gelen
genlikler eşdeğer olarak beraber (monoton) küçülür. Yani,
E01>E02>E03>...olur. Ard arda gelen tabiî rakamlarda istenilen
orta rakam diyelim 5 rakamı, komşu rakamlar toplamının yarısına
[5={6+4}/2] eşit olduğu gibi burada da değişim benzer olduğundan,
istenilen numaralı genlik; komşu numaralı genlikler toplamının yarısına
eşit olur. Yani,
E0j = (6.
şeklinde ifade edilebilir. (6.
ifadesi (6.4) ifadesini sadeleştirmeye imkân verir. Gerçekten, (6.4)
ifadesinde tek numaralı genlikler, kendilerinin yarıları toplamı ile
temsil edilirse;
E0 =
+ … + (6.9)
E0 =
+ (6.9a)
yazılabilir. (6.9) ve (6.9a) ifadeleri sırasıyla j nin tek ve çift değerlerine karşılık gelen ifadelerdir. (6.
ifadesi (6.9) ve (6.9a) ifadelerinde nazara alınırsa parantez içindeki
ifadelerin sıfıra eşit olduğu görülür. Böylece, (6.9) ve (6.9a)
ifadeleri sırasıyla aşağıdaki ifadelere dönüşürler.
E0 = (6.10)
E0 = (6.10a)
Tekrar hatırlayalım ki, (6.10) ifadesi j nin tek, (6.10a) ifadesi ise çift değerlerine uygun gelir.
Genlikler
bant numarasının artması ile küçüldüğünden j nin 1 den yeterince büyük
değerlerinde E0j-1 = E0j alınabilir. Bu halde, (6.10a) ifadesi
aşağıdaki gibi yazılabilir.
E0 = (6.10b)
(6.10) ve (6.10b) ifadeleri genelleştirilirse,
E0 = (6.11)
olur.
Burada (+) işareti j'nin tek ve (-) işareti ise çift (j delikte yer
alan Fresnel bantlarının sayısıdır.) değerlerine uygundur.
C.tesi Mayıs 16, 2009 11:10 pm